Fundamental Theorem of Galois Theory

释义 Definition

伽罗瓦理论基本定理：在一个（通常是有限）伽罗瓦扩张 \(L/K\) 中，建立起“中间域”与“伽罗瓦群的子群”之间的对应关系：

• 每个子群 \(H \le \mathrm{Gal}(L/K)\) 对应一个不动域（固定域）\(L^{H}\)；
• 每个中间域 \(K \subseteq E \subseteq L\) 对应一个保持 \(E\) 不变的子群 \(\mathrm{Gal}(L/E)\)；
  并且这种对应是反向包含（包含关系会反过来）且在伽罗瓦情形下是一一对应。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌfʌndəˈmɛntəl ˈθiərəm əv ɡəˈlwɑː ˈθiəri/

词源 Etymology

“Fundamental theorem”（基本定理）是数学中常用的命名方式，表示该领域的核心结果之一；“Galois”来自法国数学家 Évariste Galois（伽罗瓦） 的姓氏，他开创了用群论研究多项式方程与域扩张的思想；“Galois theory”（伽罗瓦理论）因此得名，而“fundamental theorem of Galois theory”就是该理论中最核心的对应定理。

例句 Examples

The fundamental theorem of Galois theory connects field extensions with group theory.
伽罗瓦理论基本定理把域扩张与群论联系起来。

For a finite Galois extension \(L/K\), the fundamental theorem of Galois theory gives an inclusion-reversing bijection between subgroups of \(\mathrm{Gal}(L/K)\) and intermediate fields between \(K\) and \(L\).
对于有限的伽罗瓦扩张 \(L/K\)，伽罗瓦理论基本定理给出 \(\mathrm{Gal}(L/K)\) 的子群与 \(K\) 与 \(L\) 之间的中间域之间一个“包含关系反向”的一一对应。

相关词 Related Words

• Galois Group
• Field Extension
• Intermediate Field
• Automorphism
• Fixed Field
• Normal Extension
• Separable Extension
• Splitting Field
• Subgroup
• Correspondence

文学与经典著作 Literary Works

• Abstract Algebra（Dummit & Foote）：在域扩张与伽罗瓦群章节系统陈述并应用该定理。
• Algebra（Serge Lang）：以较抽象的代数语言讨论伽罗瓦对应与结构性质。
• Algebra（Michael Artin）：用更直观的线性代数/对称性视角讲解伽罗瓦理论的核心定理。
• Galois Theory（Ian Stewart）：以入门友好的方式介绍并反复使用“伽罗瓦理论基本定理”。
• Basic Algebra（Nathan Jacobson）：在经典代数学框架下给出该定理与推论。